隠れた変数理論

• 概要
• 歴史的経緯
  • 年表
• 否定的証明
  • ノイマンのNO-GO定理
  • ベルの不等式の破れ
  • コッヘンとシュペッカーのNO-GO定理
• 隠れた変数理論の種類
• 所感
• 通俗説の誤解
  • 一般論
  • 二重性との関係

概要 

量子力学における隠れた変数理論では、特定の量子の特定の時刻における可観測量（物理量）は、測定が困難なだけであって、決まった値を取るとされる。 たとえば、粒子の位置について、波の広がる範囲の何処かに実在し、何処にあるか分からないだけで、何処にあるかは決まっているとされる。

歴史的経緯 

通俗説を真に受けると、「量子力学の主流科学者達は非常識な理論が正しいと根拠も無く決め付け、それが結果的に当たっていた」という印象を受ける。 しかし、歴史的経緯を調べると、そうではないことが分かる。 量子力学についてトンデモな説明をしている人は、決まって、隠れた変数理論の歴史をきちんと説明していない（量子力学の数学的基礎が確立すると同時に隠れた変数理論が数学的に否定されたこと、および、その証明が後に覆されたことが説明されていない）。 このことが通俗説の誤解の元になっていると思われる。 Wikipediaも「大半の物理学者は、〜と信じている」と信仰や哲学の問題であるかのように書いてあり、学術分野に関しては注意が必要である。

年表 

年	提唱者	題	意味	結論
1926	マックス・ボルン	確率規則	量子力学の基本原理に確率論を持ち込む	－
1926	アインシュタイン	－	「神はサイコロを振らない」	誕生？
1927	ド・ブロイ	二重解の理論	先導方程式による粒子の軌道の定式化（非弾性散乱では成立しないことをパウリが指摘）	可能性
1932	フォン・ノイマン	量子力学の数学的基礎	数学的基礎の確立、及び、隠れた変数理論の数学的反証(ノーゴー定理)	全否定
1935	アインシュタイン他	Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?(EPR論文)	隠れた変数理論を擁護する思考実験	問題提起
1935	シュレーディンガー	シュレーディンガーの猫	〃	〃
1935	Grete Hermann	－	フォン・ノイマンのノーゴー定理の反証	（埋没）
1952	デビット・ボーム	隠れた変数理論	ノーゴー定理の数学的反証	部分復活
1964	J.S.ベル	ベルの不等式	局所的隠れた変数理論が正しいなら破れることのない不等式	－
1967	コッヘンとシュペッカー	The problem of hidden variables in quantum mechanics	全ての物理量に同時に値を付与できない（全ての可観測量に隠れた変数理論を適用できない）数学的証明	否定？
1974	Max Jammer	－	Grete Hermannの論文（フォン・ノイマンのノーゴー定理の反証）の発掘	－
1982	アラン・アスペ	アスペの実験	ベルの不等式の破れの実験的証明	局所的理論の否定
1985	Franson	Bell's Theorem and Delayed Determinism	ベルの不等式の検証実験におけるタイミングの取り方の不備の指摘	－
????	デビット・ボーム	−	位置のみに隠れた変数を適用	限定理論
1996	Jeffrey BubとR.Clifton	A Uniqueness Theorem for "No Collapse" Interpretations of Quantum Mechanics	物理量に値を付与できる限界（隠れた変数の一般化）	限定理論の一般化

否定的証明 

ノイマンのNO-GO定理 

まず、1932年に、フォン・ノイマンが、『量子力学の数学的基礎』という書籍によって、量子力学の数学的基礎を確立するとともに、隠れた変数理論が不可能であることを数学的に「証明」したとされる。 この「証明」に反発した人達は、EPR論文や『シュレーディンガーの猫』等、隠れた変数理論が間違っている場合の矛盾を示す思考実験を発表する。 しかし、数学的証明を覆すには思考実験では弱い。 これらの思考実験は問題提起としては意味を持つが、真相を明らかにするには不十分である。

これに反してvon Neumannの証明は数多くの討論の手段となった． しかしながらおもしろいことに，1933年に書かれた二つの短い文章を（一つはFelix Blochによるもので，Henry Margenauによるもの）を除けば，隠れた変数の証明を別にしてもおびただしい量の考え込ませる材料を含んだvon Neumannの論考は，R.T.Beyerによる英訳が刊行されてから２年たった1957年以前には一度も書評に取り上げられることはなかったのである． その頃は，おそらく政治的な情況と戦争のせいで，このNeumannの貢献を評価するためめ十分な数学的知識をもった物理学者は余りにも少なく，またそのための十分な物理的知識をもった数学者もまたあまりに少なかったものと思われる． 事実，矛盾のない隠れた変数の理論の様々な討論の主題となった1950年代になってもなお，その妥当性について意見は大きく分れた．

「量子力学の哲学　下」(ISBN-10:4314004274,ISBN-13:978-4314004275,著:マックスヤンマー,訳:井上健)P.326,327

「量子力学の哲学　下」には、1935年のGrete Hermannの論文等、フォン・ノイマンの証明への異議が早くからあったことを紹介している。 しかし、「政治的な情況と戦争のせい」でこれらは十分に吟味されないままであったようである。

尚、二重解の理論の派生形である量子ポテンシャル理論はノイマンのNO-GO定理に抵触しないとされる。

ベルの不等式の破れ 

古典力学は、充足理由の法則(一般に因果律と呼ばれるもの)に従う。 また、相対性理論は物理の法則が全て局所的な現象であるとした。

有名なEPR論文の触発されたジョン・スチュワート・ベルは、充足理由の法則(一般に因果律と呼ばれるもの)に従う２つの現象の相関確率の限界を示すベルの不等式を提唱した。 局所的隠れた変数理論は２つの現象の測定結果に相互作用が働かない限りベルの不等式を満たすが、量子力学の標準理論は相互作用の有無に関わらずベルの不等式を破る。 もしも、局所的な相互作用が働き得ない実験でベルの不等式を破らないのであれば、量子力学の標準理論は相互作用が働かない限りベルの不等式を満たすように修正する必要があった。

1982年のアラン・アスペらの実験により局所的な相互作用が働き得ない実験の結果がベルの不等式を破ることが判明した。 この結果、量子力学が古典力学の範囲を超えることが実証され、局所的隠れた変数理論が否定されることになった。 ただし、ベルの不等式の破れが意味することは、充足理由の法則の破れなのか、局所性の破れなのかは定かではない。 というのも、局所的な相互作用が働き得ない条件であっても、非局所的な相互作用が働いている可能性は否定できないからである。 相互作用が働いていれば充足理由の法則を満たしていてもベルの不等式は破れ得る。 もしも、非局所的な相互作用が働いているとすれば、それは局所性の破れを意味する。 だから、この実験結果は、充足理由の法則か局所性のいずれかが破れていることを示している。 よって、充足理由の法則が破れている標準理論も、局所性を満たさない非局所的隠れた変数理論も、いずれも、ベルの不等式の破れと矛盾しない。

ちなみに、ベルの不等式は量子もつれの相関性を利用して検証しているが、充足理由の法則が破れるなら量子もつれに相関性が生じる仕組みの説明が困難となる。 量子もつれに相関性がなければ、ベルの不等式の検証は不可能であり、そもそも、量子もつれとして特別視されることもなかった。 よって、アラン・アスペらの実験は、充足理由の法則の破れではなく局所性の破れを実証したと解釈した方が自然であろう。

尚、井元信之氏は、 決定論的量子力学? ボーム理論はどこまで行くか?(大阪大学基礎工学研究科 井元信之) - 高知工科大学 にて、局所性の制限はブラックボックスの外からのaccessible(アクセス可能)な現象のみに適用されるのであって、ブラックボックスの外からのaccessible(アクセス可能)でない所で非局所性が現れても相対性理論には反しないとしている。 また、この実験についてベルの不等式を破ることが完全に証明されたとは言えないとする批判もいくつか存在する（例:Franson/1985）。

コッヘンとシュペッカーのNO-GO定理 

1967年のコッヘンとシュペッカーの論文によって、３以上の次元のヒルベルト空間でエルミネート作用素の全てに一意の値を割り振ることができないと数学的に証明された。 標準理論では、可観測量はヒルベルト空間のエルミネート作用素で表される。 もしも、全てのエルミネート作用素が可観測量であるなら、コッヘンとシュペッカーの定理は、全ての可観測量に一意の値を割り振ることができないことを示している。 であれば、標準理論と数学的に等価である理論であれば、全ての可観測量に一意の値を割り振る隠れた変数理論が実現できない可能性がある。 ただし、いくつかの可観測量に限定すれば、一意の値を割り振る隠れた変数理論は実現可能性である。

尚、二重解の理論の派生形である量子ポテンシャル理論はコッヘンとシュペッカーのNO-GO定理に抵触しないとされる。

隠れた変数理論の種類 

波と粒子の二重の解を持つ理論として次のようなものがある。

• ド・ブロイの二重解の理論
• デビット・ボームの量子ポテンシャル理論
• エドワード・ネルソンの確率力学

詳細は二重解の理論で説明する。

多世界解釈が局所的隠れた変数理論であるとする者もいる。

所感 

最初の頃は、隠れた変数理論は、標準理論よりも遥かに妥当な理論であったのだろう。 この頃、多くの物理学者が隠れた変数理論をまじめに研究しなかったことは非常に残念である。 アインシュタインが隠れた変数理論に固執したのは、それが定性的に最も素直な解釈だったからだろう。 しかし、今日では、当初考えられていたような素直な形での隠れた変数理論が実現不可能であることがわかっている。 隠れた変数理論が正しくない証明は困難であるが、実験等とつじつまの合う隠れた変数理論を構築しようとするとかなり歪な理論になってしまう。 隠れた変数理論を安易に否定することはできないが、執拗なまでに固執すべき理由は今日では失われたと考えて良いだろう。

通俗説の誤解 

一般論 

一般に、隠れた変数理論の真偽を素人が検証することは極めて困難である。 何故なら、二重解の理論とその派生理論等は量子力学の標準理論と数学的に等価であるからである。 だから、素人目には、標準理論と隠れた変数理論の違いを区別できない。 素人が容易に分かるようなやり方では隠れた変数理論を検証できないのである。 だから、素人が「この現象は隠れた変数理論では説明できない」と思うケースで、本当に隠れた変数理論で説明できないケースは殆どない。 隠れた変数理論で説明できない現象があっても、それが隠れた変数理論で説明できない理由を素人にも分かるように説明するのは極めて困難である。

二重性との関係 

波と粒子の二重性は、隠れた変数では説明できないと誤解する人がいる。 そう主張する人の根拠を良く見ると前提がおかしい。 彼らは、波としての性質を無視して、唯の粒子と考えた状態で隠れた変数を否定しているのだ。 しかし、波としての性質を無視するなら、隠れた変数に関係なく干渉は生じ得ない。 そう主張する人は、波と粒子の二重性の不可思議さの本質を理解していないのである。

本職の物理学者は誰１人として、波と粒子の二重性を隠れた変数理論を否定する根拠として用いていない。 何故なら、根拠にならないことが分かりきっているからである。 それが根拠にならないから、ベルの不等式が考案されているのである。

具体的に何処をどう勘違いしているのかここで改めて説明するのは二度手間なので、その詳細は二重スリット実験の真相のページに記載する。